O Interferômetro de Michelson é um dos experimentos que nos permite medir o comprimento de onda da luz visível, que está na ordem de centenas de nanômetros. Veja neste simulador e neste artigo como uma medida desse tipo é realizada.
No Interferômetro de Michelson comumente encontrado nos laboratórios didáticos das disciplinas Física Experimental ou Laboratório de Física Moderna temos, basicamente, um padrão de interferência resultante da superposição de dois feixes de luz provenientes de um mesmo laser, geralmente e de He-Ne (hélio-neônio), com potência típica de 1 mW e comprimento de onda de 632,8 nm.
A origem da interferência
A interferência vem da diferença de fase entre os dois feixes de luz, que vão acabar percorrendo distâncias diferentes após passarem pelo dividor de feixes até chegarem no anteparo. O feixe que reflete no espelho fixo, que chamaremos de feixe 1, adquire uma diferença de fase dada por
$$ \phi_1 = kL_1, \tag{1} $$onde $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$ e $L_1$ é a distância percorrida. Fazendo o mesmo o feixe dois subtraindo as fases adquiridas, obtemos
$$ \Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \dfrac{2\pi \Delta L}{\lambda}, $$onde $\Delta L = L_2 - L_1$ é a diferença de percurso entre os feixes.
O feixe dois tem um percurso de tamanho variável devido à presença do espelho móvel. Considerando que a distância $L_2 - L_1$ é igual a zero para uma certa posição $\Delta z = 0$ do espelho móvel, podemos escrever a equação (2) como
$$ \Delta \phi = \dfrac{4\pi \Delta z}{\lambda}, \tag{2} $$onde o fator 2 vem de que uma variação $\Delta z$ no espelho móvel implica em um aumento de $2\Delta z$ no percurso desenvolvido pelo feixe 2.
Da teoria da interferência de ondas, sabemos que as franjas claras, resultantes de uma interferência construtiva, aparecem sempre que a diferença de fase é um múltiplo de $2\pi$:
$$ \Delta \phi = 2\pi\times m, \text{ onde } m = 0, \pm 1, \pm 2, ... \tag{3} $$Combinando as equações (2) e (3), chegamos na variação que devemos fazer no espelho móvel para observar a $m$-ésima franja clara:
$$ \Delta z_m = \dfrac{\lambda m}{2} \tag{4} $$Considerando $\lambda = 632$ nm e $m = 1$, a primeira franja clara após a franja clara de ordem zero é obtida quando movemos o espelho por uma distância de
$$ \Delta z = \dfrac{632}{2} = 316 \text{ nm}, $$que é um deslocamento muito pequeno para ser feito no espelho móvel, que normalmente, nesse tipo de experimento didático, está acoplado a um parafuso micrométrico com uma alavanca com fator 1:10, o que permite fazer deslocamentos mensuráveis na resolução de 0,1 nm.
Medida do comprimento de onda do laser
No laboratório, portanto, o ideal é que sejam contadas $N$ franjas, como, por exemplo, 30. Nesse caso, fazendo $m = N$ e reescrevendo a equação (4) para $\lambda$, chegamos em
$$ \lambda = \dfrac{2\Delta z}{N} \tag{5} $$O que faremos agora é obter um valor "experimental" para o comprimento de onda $\lambda$ do laser com base no simulador abaixo, que você pode usar ao clicar no botão "Iniciar simulação".
O procedimento é o seguinte:
- Movemos o espelho móvel para um lados e vamos contando o número de franjas claras. No simulador, fazemos isso clicando nos botões $+$ ou $-$.
- Ao chegarmos em $N = 30$, anotamos o deslocamento $\Delta z$ do espelho.
- Por fim, usamos a equação (5) para calcular o valor do comprimento de onda do laser.
Fazendo os três etapas acima, obtemos $\Delta z= 9,5$ $\mu\text{m}$, o que resulta em
$$ \lambda = 640,00 \text{ nm}, $$valor próximo ao comprimento de onda de 632 nm.
A próxima etapa é obtermos o valor da incerteza associada a essa medida. No experimento em laboratório, isso vai depender do instrumento de medida usado na obtenção de $\Delta z$. Do simulador acima, temos uma incerteza de $\delta z = 0,1$ $\mu\text{m}$. Também podemos considerar uma incerteza de $\delta N = 1$ na contagem do número de franjas claras, já que a menor variação na posição do espelho no simulador (e, provavelmente, no experimento em laboratório) está praticamente no limiar de observamos uma alternância entre as franjas.
Com os dados das incertezas $\delta N$ e $\delta z$, calculamos a incerteza no comprimento de onda. Sabendo-se que o comprimento de onda é função do número de franjas e do deslocamento do espelho, isto é,
$$ \lambda = \lambda(N, \Delta z), $$escrevemos
$$ \delta\lambda = \left | \dfrac{\partial\lambda}{\partial N} \right | \delta N + \left | \dfrac{\partial\lambda}{\partial (\Delta z)} \right | \delta z $$Então, calculando as derivadas parciais, chegamos em
$$ \delta\lambda = \dfrac{2\Delta z \delta N}{N^2} + \dfrac{2\delta z}{N} $$Substituindo todos os valores, encontramos a seguinte incerteza para o comprimento de onda:
$$ \delta\lambda = 27,7778 \text{ nm} $$Adotando o critério de incerteza com apenas um algarismo significativo, reescrevemos o resultado acima como
$$ \delta\lambda = 30 \text{ nm} $$Por fim, chegamos na seguinte medida do comprimento de onda do laser de hélio-neônio:
$$ \lambda = 640 \pm 30 \text{ nm}, $$valor que está dentro da margem de erro do comprimento de onda do laser de He-Ne.